Ensembles finis Exemples

$16000 {(1 + r)}^{2} = 25000$

Étape 1

Soustrayez $25000$ des deux côtés de l’équation.

$16000 {(1 + r)}^{2} - 25000 = 0$

Étape 2

Simplifiez $16000 {(1 + r)}^{2} - 25000$ .

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Réécrivez ${(1 + r)}^{2}$ comme $(1 + r) (1 + r)$ .

$16000 ((1 + r) (1 + r)) - 25000 = 0$

Étape 2.1.2

Développez $(1 + r) (1 + r)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$16000 (1 (1 + r) + r (1 + r)) - 25000 = 0$

Étape 2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$16000 (1 \cdot 1 + 1 r + r (1 + r)) - 25000 = 0$

Étape 2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$16000 (1 \cdot 1 + 1 r + r \cdot 1 + r \cdot r) - 25000 = 0$

Étape 2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.3.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$16000 (1 + 1 r + r \cdot 1 + r \cdot r) - 25000 = 0$

Étape 2.1.3.1.2

Multipliez $r$ par $1$ .

$16000 (1 + r + r \cdot 1 + r \cdot r) - 25000 = 0$

Étape 2.1.3.1.3

Multipliez $r$ par $1$ .

$16000 (1 + r + r + r \cdot r) - 25000 = 0$

Étape 2.1.3.1.4

Multipliez $r$ par $r$ .

$16000 (1 + r + r + r^{2}) - 25000 = 0$

Étape 2.1.3.2

Additionnez $r$ et $r$ .

$16000 (1 + 2 r + r^{2}) - 25000 = 0$

Étape 2.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$16000 \cdot 1 + 16000 (2 r) + 16000 r^{2} - 25000 = 0$

Étape 2.1.5

Simplifiez

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Étape 2.1.5.1

Multipliez $16000$ par $1$ .

$16000 + 16000 (2 r) + 16000 r^{2} - 25000 = 0$

Étape 2.1.5.2

Multipliez $2$ par $16000$ .

$16000 + 32000 r + 16000 r^{2} - 25000 = 0$

Étape 2.2

Soustrayez $25000$ de $16000$ .

$32000 r + 16000 r^{2} - 9000 = 0$

Étape 3

Factorisez $1000$ à partir de $32000 r + 16000 r^{2} - 9000$ .

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Étape 3.1

Factorisez $1000$ à partir de $32000 r$ .

$1000 (32 r) + 16000 r^{2} - 9000 = 0$

Étape 3.2

Factorisez $1000$ à partir de $16000 r^{2}$ .

$1000 (32 r) + 1000 (16 r^{2}) - 9000 = 0$

Étape 3.3

Factorisez $1000$ à partir de $- 9000$ .

$1000 (32 r) + 1000 (16 r^{2}) + 1000 (- 9) = 0$

Étape 3.4

Factorisez $1000$ à partir de $1000 (32 r) + 1000 (16 r^{2})$ .

$1000 (32 r + 16 r^{2}) + 1000 (- 9) = 0$

Étape 3.5

Factorisez $1000$ à partir de $1000 (32 r + 16 r^{2}) + 1000 (- 9)$ .

$1000 (32 r + 16 r^{2} - 9) = 0$

Étape 4

Laissez $u = r$ . Remplacez toutes les occurrences de $r$ par $u$ .

$1000 (32 u + 16 u^{2} - 9) = 0$

Étape 5

Factorisez par regroupement.

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Étape 5.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$1000 (16 u^{2} + 32 u - 9) = 0$

Étape 5.2

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 16 \cdot - 9 = - 144$ et dont la somme est $b = 32$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $32$ à partir de $32 u$ .

$1000 (16 u^{2} + 32 (u) - 9) = 0$

Étape 5.2.2

Réécrivez $32$ comme $- 4$ plus $36$

$1000 (16 u^{2} + (- 4 + 36) u - 9) = 0$

Étape 5.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$1000 (16 u^{2} - 4 u + 36 u - 9) = 0$

Étape 5.3

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 5.3.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$1000 ((16 u^{2} - 4 u) + 36 u - 9) = 0$

Étape 5.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$1000 (4 u (4 u - 1) + 9 (4 u - 1)) = 0$

Étape 5.4

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $4 u - 1$ .

$1000 ((4 u - 1) (4 u + 9)) = 0$

Étape 6

Factorisez.

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Étape 6.1

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $r$ .

$1000 ((4 r - 1) (4 r + 9)) = 0$

Étape 6.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$1000 (4 r - 1) (4 r + 9) = 0$

Étape 7

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$4 r - 1 = 0$

$4 r + 9 = 0$

Étape 8

Définissez $4 r - 1$ égal à $0$ et résolvez $r$ .

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Étape 8.1

Définissez $4 r - 1$ égal à $0$ .

$4 r - 1 = 0$

Étape 8.2

Résolvez $4 r - 1 = 0$ pour $r$ .

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Étape 8.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$4 r = 1$

Étape 8.2.2

Divisez chaque terme dans $4 r = 1$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 8.2.2.1

Divisez chaque terme dans $4 r = 1$ par $4$ .

$\frac{4 r}{4} = \frac{1}{4}$

Étape 8.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 8.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 r}{4} = \frac{1}{4}$

Étape 8.2.2.2.1.2

Divisez $r$ par $1$ .

$r = \frac{1}{4}$

Étape 9

Définissez $4 r + 9$ égal à $0$ et résolvez $r$ .

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Étape 9.1

Définissez $4 r + 9$ égal à $0$ .

$4 r + 9 = 0$

Étape 9.2

Résolvez $4 r + 9 = 0$ pour $r$ .

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Étape 9.2.1

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’équation.

$4 r = - 9$

Étape 9.2.2

Divisez chaque terme dans $4 r = - 9$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 9.2.2.1

Divisez chaque terme dans $4 r = - 9$ par $4$ .

$\frac{4 r}{4} = \frac{- 9}{4}$

Étape 9.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 9.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 r}{4} = \frac{- 9}{4}$

Étape 9.2.2.2.1.2

Divisez $r$ par $1$ .

$r = \frac{- 9}{4}$

Étape 9.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$r = - \frac{9}{4}$

Étape 10

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $1000 (4 r - 1) (4 r + 9) = 0$ vraie.

$r = \frac{1}{4}, - \frac{9}{4}$